Mô Hình Hóa Và Điều Khiển Mô Hình Xe - Con lắc ngược (Cart and Pole)

Thông số của mô hình:

1.      Khối lượng thân xe : M=2.0 (kg)

2.      Khối lượng con lắc : m=0.1 (kg)

3.      Chiều dài con lắc : l=0.5( m)

4.       là góc lệch của con lắc theo phương thẳng đứng

5.      x : là chuyển vị của xe.

6.      u : input ngoại lực tác động lên xe.

7.      g=9,81 (m/s²)  gia tốc trọng trường .

8.      Hệ thống hoạt động trong môi trường tuyến tính.

9.      Chỉ đo được góc lệch con lắc và vị trí xe.

10. Có nhiễu tác động vào hệ thống. Nhiễu đo vị trí xe có phương sai là 0.01, nhiễu góc lệch con lắc có phương sai 0.001.

11. Sử dụng bộ lọc Kalman để ước lượng trạng thái và lọc nhiễu.

Bài toán đặt ra:

Bài toán đặt ra là thiết kế bộ điều khiển cho (U ) để con lắc luôn ở vị trí thẳng đứng.

 Giải bài toán động lực học.

-         Giải phóng liên kết, phân tích lực tác động vào hệ:

(Nguồn: Figure 3-5(b) [1] )

-         Giả sử con lắc ngược  đồng chất và có trọng tâm tại tâm của thanh.

-         Ta định nghĩa góc lệch con lắc là .   

-         (x, y ) là hệ tọa độ tham chiếu, (xG, yG ) là tọa độ tâm thanh.

-         Ta có:

 

-         Con lắc ngược chuyển động song phẳng, với chuyển động xoay có phương trình:

-         Chuyển động ngang của tâm con lắc:

-         Chuyển động thẳng đứng của tâm con lắc:

-         Chuyển động ngang của xe đẩy:

-         Ta cần điều khiển sao cho con lắc ngược luôn  thẳng đứng, nghĩa là góc lệch  đủ nhỏ, ta có thể cho  

Do đó phương trình (3) đến phương trình (6) có thể tuyến tính hóa.

-         Từ phương trình (6) và (8) ta có:

-         Từ phương trình (7), (8), (9) ta có:

Tương đương:

 Phương trình (10) và (11) mô rả phương trình toán học của con lắc ngược và xe đẩy.

1.   Mô hình hóa hệ thống

-         Giải sử ta có con lắc ngược đồng chất, trọng tâm đặt tại tâm thanh nên I = 0, phương trình toán học của hệ được viết lại như sau:

-         Phương trình (12), (13) có thể viết lại như sau:

-         Ta đặt các biến trạng thái 

 .

-         Từ phương trình (14) và (15) ta viết lại:

               

-         Khai triển dạng ma trận:

 

-         Phương trình (16), (17) là phương trình trạng thái mô tả hệ thống.

2.      Mô phỏng đáp ứng của hệ thống

-         Mô hình hệ thống

-         Trường hợp 1:

o   Góc lệch ban đầu . theta = 0

o   Vị trí xe ban đầu x = 0

o   Tín hiệu điều khiển u = 0

o   Thời gian mô phỏng 10 giây.

Đáp ứng hệ thống

-         Trường hợp 2:

o   Góc lệch ban đầu . theta = 0.2

o   Vị trí xe ban đầu x = 0

o   Tín hiệu điều khiển u = 0.

o   Thời gian mô phỏng 10 giây.

Đáp ứng hệ thống

-         Trường hợp 3:

o   Góc lệch ban đầu: theta = 0

o   Vị trí xe ban đầu x = 0.5

o   Thời gian mô phỏng 10 giây.

Đáp ứng hệ thống

-         Trường hợp 4

o   Góc lệch ban đầu . theta = 0.2

o   Vị trí xe ban đầu x = 0.5

o   Thời gian mô phỏng 10 giây.

Đáp ứng hệ thống

-         Nhận xét : con lắc không đạt được cân bằng

3.      Áp dụng bộ điều khiển PID.

-         Mô hình bộ điều khiển

Mô hình hệ thống

  

-         Mô phỏng đáp ứng:

o   Góc lệch ban đầu . theta = 0.2

o   Vị trí xe ban đầu x = 0

o   Thời gian mô phỏng 10 giây.

 Đáp ứng hệ thống

-Nhận xét : Con lắc cân bằng

4.      Áp dụng độ điều khiển LQG

-         Mô hình bộ điều khiển

Nguồn [2]

-         Mô phỏng đáp ứng:

o   Góc lệch ban đầu . theta = 0.2

o   Vị trí xe ban đầu . x = 0

o   Thời gian mô phỏng 10 giây.

Độ vọt lố nhỏ hơn

Đáp ứng hệ thống

Tín hiệu điều khiển

Nguồn tham khảo:                  

[1]  Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, Prentice Hall.

[2]  TS. Huỳnh Thái Hoàng , Lý Thuyết Điều Khiển Nâng Cao, Bộ Môn Điều Khiển Tự Động ,ĐH Bách Khoa TP. HCM.